什么是圆周角? 圆周角三个定理及其推论圆周角的定义与核心特性圆周角是几何学中的重要概念，指顶点在圆上，且两边均与圆相交的角。其核心特征与性质如下：一、定义与基本条件构成要素 顶点在圆上：角的顶点必须位于圆周某一点； 两边与圆相交：角的两边必须延伸并与圆相交于两个不同的点。示例：若顶点在圆上，但一边为圆的切线而非弦，则该角不属于圆周角。与圆心角的区别 圆心角：顶点在圆心的角，其两边为半径； 圆周角：顶点在圆周上，两边为圆的两条弦。二、圆周角定理及其推论圆周角定理在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。公式表达：\[\angle BAC = \frac1}2} \angle BOC\]（其中，∠BAC为圆周角，∠BOC为圆心角，两者对应同一段弧BC）重要推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角为90°，即直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。 推论2：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，反之亦然。 推论3：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形。三、定理的证明思路圆周角定理的证明采用分类讨论法，根据圆心与圆周角的相对位置分为三种情况： 圆心在角的一边上（如直径上的圆周角）：利用三角形外角性质直接推导。 圆心在角内部：引辅助直径将角分解为两个圆心在边上的情况，通过角度相加得证。 圆心在角外部：同样通过引直径分解角，利用角度相减完成证明。四、应用与示例角度计算例如，若一段弧的圆心角为120°，则其对应的圆周角为60°。 几何判定利用推论1可快速判断三角形是否为直角三角形（如直角三角形的斜边为圆的直径）。 实际图形分析在圆内接四边形中，对角互补的性质也与圆周角定理相关（如提到的圆内接四边形外角等于内对角）。圆周角是几何学中连接圆心与圆周的关键概念，其定理及推论为圆的性质分析、角度计算和图形判定提供了重要工具。领会其定义（顶点在圆、两边相交）和定理证明的分类思路，是掌握圆相关几何难题的核心基础